Az igaz és a végtelen

(A matematika közlekedő edényei)

PPG: A 13-as

A matematika nem más, mint az irodalom, zene, művészet, vallás, ezotéria tudományos versbefoglalása egy különleges isteni nyelven, minimális jelrendszerrel. A matematika, irodalom, zene stb. között Pascal-féle közlekedő edények léteznek.


A matematika és költészet kapcsolatát már Goethe és Polti is tanulmányozták, ők rámutattak a 36-os szám fontosságára bizonyos drámai helyzetekben. Souriau és Ginestier pedig a dráma geometriáját elemezték. Scott Buchanan a Költészet és matematika című könyvében a görög világ tragédiája, komédiája és matematikája közti összefüggéseket tárgyalja. A. Markov pedig Puskin Jevgenyij Anyegin című művében a magánhangzók és a mássalhangzók váltakozását vizsgálva bevezetett egy valószínűségi fogalmat, amit ma Markov-láncnak neveznek. Ady Endre és József Attila költészeteiben is ott a matematika. Dan Barbilian - Ion Barbu matematikus - költő világát közelebbről is tanulmányozhatjuk, végül a legérdekesebb Solomon Marcus  A nyelvi szépség matematikája című könyve. 

PPG: Pithagorász

Egy jó irodalomtanár a kisdiákoknak több matematikát tanít, mint egy korlátolt matematikatanár. Az anyanyelvünk tökéletes írása és beszélése kész matematika. Ez a híd, erre épül minden. Innen a matematika holografikus tulajdonsága a diákot átemeli egy új dimenzióba. A legjobb példa erre az analitikus függvény fogalma, melynél a lokális viselkedés előrevetíti (determinálja) a globálisat. 


A költészetben is valami hasonló történik, a költő is arra törekszik, hogy meglássa a világot a népdal egy morzsájában, és az örökkévalóságot egyetlen másodpercben. Ezt egy más példával is próbálom körülírni. A mindennapi életben a legtöbb függvény sima, azaz görbéjüknek minden pontban van érintője. Amikor a függvény fogalmát szemléletességén túlmenve általánosítjuk, akkor szakadék keletkezik, mert sok olyan "sima" tapasztalatokkal le nem írható "költemény" található. Ilyenek például a sehol sem differenciálható folytonos függvények. Hermite, Weierstrass, Riemann, Peano ez irányú költészetét végül Benoit Mandelbrot írta versbe, megteremtve a fraktálgeometriát. A függvények sok osztályára igaz, hogy ha bizonyos elhanyagolható halmaz pontjait kihagyjuk, akkor "irodalmi" egyszerűség tárul elénk. Bármely korlátos valós függvény, amelyet egy kompakt valós intervallumban értelmezünk nem más, mint két Riemann-integrálható függvény összetevése, "verse". 


Az egyenlőtlenségekkel értelmezett függvények osztályát egy pont környezetében való viselkedésünk szabja meg. A lokális és globális tulajdonságai között már megszületik a "vers". Nagy űr tátong a látható és a megérthető között. A matematika és a költészet a jelenségek mögötti valóságot is feltárja. Ilyen a végtelen fogalma is. Cantor, Gödel, Péter Rózsa (Játék a végtelennel), George Gamow (Egy, kettő, ... , végtelen) eredményeit Szilágyi Domokos a következőképpen írta le:

"allegro-barbaro-jelen, 

polifón álom, ó, jövő,

rezdülj végig,

a megismeréstől a fölismerésig, 

a céltudatos húrokon! 

Rezdülj végig, 

a végestől a végtelenségig, 

tudatos, észszerű varázs -:  

mert csak az igaz, ami végtelen, 

minden véges: megalkuvás."

F. de Saussure, L. Bloomfield, L. Hjelmeslev, N. Chomsky, S. Marcus szerint is bármely természetes nyelv az elméleti megalapozás tekintetében végtelen. Másrészt a szavak ábécére alapozott véges összekapcsolt struktúrák, amelyek véges, nem üres halmazok, ezért a kombinatorika eszközeivel tanulmányozhatók. A véges és végtelen matematikai struktúrák keresztútjánál S. Marcus bevezette a kontextuális nyelvtant, amivel a szöveg-tartalom elemezhetővé vált. Ezért a tudományos szemantikának az algebrai (diszkrét), a költőinek a topológiai (folytonos) modell felel meg.


Mára a matematikai nyelvészet külön tudomány lett, de ide vezetett a matematikai és költői modell mellett a Neumann János programozási nyelvek modellje és a biológiai-élettani fejlődésvonal, amely kimutatta az agyféltekék működésbeli megosztását, ami szerint a nyelv szekvenciális tevékenység, amelyet a bal félteke irányít. Elvezetett  a formális nyelvtanok kialakulásához, a neuronhálózatok modellezése pedig az emberi nyelvkészség számítógépes metafora-értelmezéséhez. Chomsky szerint is az angol nyelv morfológiája szegényes. A germán, latin, szláv nyelvek morfológiája már gazdagabb. A magyar a leggazdagabb, mivel a szavak ragozásának és a szóalkotásnak a módját a szó tövéhez illesztett toldalékkal adja meg, aglutinál.

PPG: Hány óra van?

A költészetet és matematikát is a szemiotikai optimalizálás szabályozza, azaz minimális kifejezéssel elérni a maximális jelentést. Egy költői sor szemantikai sűrűségét megfelelő mértékek hányadosával értelmezhetnénk. Én a "mondat  magasságát" vezettem be, és ezzel tanulmányoztam az irodalmi alkotásokat (lásd. Bencze Mihály: Matematika és irodalom, Középiskolai Matematikai Lapok, 6/1992, 250-252 oldal, Budapest). Az információsűrűség abban a szándékosan megalkotott végtelen határozatlanságban nyilvánul meg, amely megadja minden olvasónak, az egyéni de különböző értelmezés lehetőségét.


Egy vers már nem engedi meg az elvonatkoztatást, mert a szuggesztiók rendkívüli sűrűsége jellemzi. Hasonló a helyzet a matematikában is, csak ott a logikai sűrűség korlátozza az általánosítást. A matematikai nyelv végtelen szinonímalehetőséget tartalmaz, ezért lehet bármilyen fontos matematikai tételt többféleképpen is bizonyítani. Egy-egy matematikai képlet a gondolatok akkora gazdagságát süríti információvá, hogy ha ez természetes nyelven vele egyenértékű kifejezéssel írnánk le, lehet, hogy már érthetetlenné válna. Ha a Bolyai-féle mértan képleteit szavakban írnánk le, akkor soha nem törtünk volna ki Eukledész bűvköréből. Bolyai Jánosnak oly nagy volt a gondolatsűrűsége, hogy egy általa alkotott mesterséges nyelvvel tudta csak leírni álmait. Ezt a "nyelvet" Kiss Elemér tudta újra magyarra fordítani.


A matematikai nyelvezet univerzális, bármely nyelvre lefordítva nem veszít információtartalmából. A versnél sajnos ez már nem igaz. Ha a V1 nyelvben írott verset lefordítjuk V2  nyelvre, majd ezt V3  nyelvre és így tovább, amennyiben véges számú lépés után visszatérünk a kiinduló nyelvre, meglepődünk, hogy mennyire különbözni fog. Hogy lehetne lemérni ezt az információkülönbséget? Erre ma még a matematika nem tud válaszolni. A fordítás és a költemény konjugált kört alkot, Bohr komplementaritási elve és Heissenberg határozatlansági összefüggése is befolyásolja, korlátozza.


Nyelvünk a makroszkopikus Univerzumban jött létre (Varga Csaba szerint a magyar az ősanyanyelv), ezért az Univerzumon túlmenő jelenségek nem fejezhetők ki vele, ide már isteni nyelv szükséges. De mégis a matematika és a költemény a kognitív metaforáival áthatol az új dimenzióba.

Bencze Mihály